多準則決策筆記 MCDM Note

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• 簡介
• 理論流派
• 名詞定義
• 案例研究
• 網路資源

簡介

• 過去三十餘年來，作業研究結合了各種數學方法和資訊科技的能力，把管理決策推向了一個新的境界，特別是在「結構化決策問題」上。傳統作業研究主要的成就是從一組可行解中，找出滿足單一目標函數的唯一最佳解，整個方法論的核心是相當「客觀的」數學模型，基本上符合科學的精神。單目標最佳化的模型也經常被用於求解多準則決策問題，作法是將多個準則合併成單一目標函數，並賦以每個準則權重，我們將之稱為多準則單目標模型。運用這樣的模型可能將原先在多準則空間上的兩個不相同解視為單目標空間上的同一個解。
• 在真實世界中，我們經常面臨涉及多個準則(或目標)且準則間可能互有衝突的「半結構化」和「非結構化」決策問題。就「半結構化」和「非結構化」決策問題而言，決策者對問題本身、可行方案的設計、和如何選擇可行方案的準則(criteria)並不完全清楚。從設計活動的角度，多準則決策者面臨的是如何從多準則解答空間中找出一些適當的可行方案供決策者選擇。和單目標模型最大不同的地方是，面對衝突目標(或準則)的前提下，多準則模型在多目標解答空間中並無單一最佳解。(柏拉圖最佳解前緣，Pareto-optimal front)
• 多準則決策方法，起源於Koopmans 所提出有效向量的觀念（Zeleny, 1982），發展至今已有許多研究及決策者將其應用於設計、選擇或評估方面的問題。在替代方案為已知的情形下，以多個準則為評估的依據，由決策者表達其偏好結構（ preferencesstructure），然後求其非劣解（non-inferior solutions），或排定替代方案優劣順序（ordering）。
• 管理的決策領域中，決策者所處理的問題經常是包含多重評估準則的，而這些準則卻往往都是互相衝突的，例如選購一部車子，我們通常就會考慮多個因素，像是價格、舒適度、安全性、省油程度、折舊率、外觀等評估屬性，而這些評估準則往往是相互衝突的，如價格與安全性。而以往許多決策者所採用的評估方法，通常只以最小成本或最大效益之單一指標為衡量標準，但在多元複雜的社會環境中，決策者面對的問題日趨複雜，同時也常面臨在諸多的衝突目標中做權衡取捨，若僅以單一準則為選擇或評估方案的依據，不但考慮有欠周詳且亦不符實際問題的需要。
• 傳統作業研究模型基本上是先建立一個選擇機制（透過最佳化函數），它的搜尋機制基本上是建立在一套最佳化的演算程序，決策者只能扮演選擇的角色（透過建立最佳化函數），並無法直接設計可行方案。但從上述分析我們可意識到，理論上進行多準則決策時，可行方案的決定者應該是決策者，而不應是數學模型。同時，當面對「半結構化」和「非結構化」決策問題，決策者在尚未清楚問題的本質時，所建立的最佳化函數函數是否能選出滿意的解答也有待商榷。由於這種對決策本質的新體認，多準則決策方法也因此興起[Keeney and Raiffa, 1976]。
• 多準則決策(Multiple Criteria Decision Making; MCDM)是可以幫助決策者在數目有限的可行方案中，根據每一方案的各個屬性的特徵，從可行的方案之中，將各個方案做一優劣排序，評估和選擇一符合決策者理想的方案（ Yoon 及Hwang, 1985）。

理論流派

廣義的多準則決策涵蓋多屬性效用、多目標規劃等問題處理的方法。

1. 多屬性效用乃根據各屬性形成綜合性目標，而以效用最大化來判斷。
2. 多目標規劃所關心的是是否達到預定標的的條件。

多目標決策(Multi-objective Decision Making)

• 多目標決策方法可視為傳統作業研究模型的擴充，它的選擇機制是 最佳化函數 ，它的搜尋機制是建立在一套最佳化的演算程序。換言之，使用多目標規劃進行決策時，決策者只能扮演選擇的角色，無法直接設計可行方案。
• 最佳化函數並不能充分將客觀因素與決策者個人偏好的「主觀」因素納入。
• 一般而言，多目標規劃較適用於可行方案無限多個且為連續性的情形，且僅適用於僅知目標函數及限制式條件，但可行方案未知的狀態。

多屬性決策(Multi-attribute Decision Making)

• 多屬性決策方法為 管理 決策領域中常被廣泛應用之評估技術。
• 多屬性決策法，例如AHP [Saaty, 1980]，適用於從有限個可行方案中，透過 一套選擇程序評估各屬性的相對重要性，然後界定出各可行方案的中最佳方案。該些有限個可行方案都是決策前已知、且通常為離散的。
• 多屬性決策方法種類繁多，每個方法所依據的理論也不盡相同，在使用不同的方法應用在同一個問題時，往往可能會產生不同的結果，此為多屬性決策方法常遭非議之處。
• 多屬性決策方法為決策者在多個質化或量化的評估準則下，對一組有限、可數且數目不大的已知可行替代方案進行評估，以決定各替代方案之優劣或執行的優先順序。然而這些方案下的各個屬性的評估值不一定是量化的數值。不過，最終多屬性決策方法還是必須將不是量化的評估值轉化為數量化的評估值才能進行分析，而其最終方案的選擇是經由各評估屬性相互之間，和各方案同一評估屬性內相互比較而得來的。而這些比較則會包含明顯的或隱含的取捨（trade-offs）效果。

本篇文章因為作者資管的背景，因此多為探討多屬性決策的問題。

名詞定義

• Criteria(準則)：被評估的項目。
• Alternatives(方案)：供決策選擇的不同可行方案。
• Decision Weights(決策權重) ：準則被賦予的重要程度，所有權重的和應為1。
• Decision Matrix(決策矩陣) ：一個由可行方案(m) 與準則(n) 組合的矩陣(m*n)。

多準則的方法

WSM (Weighted Sum Model，加權法)

• 常用單目標(單維度)模型的決策問題，應用在多目標(多維度)時要做正規化。
• 必須用於效益相加有意義才使用之。
• 決策者在使用加權法時，其在一個準則下所決定之評估值儘量少受到其他準則評估值的影響(最好能確認各準則間的相互獨立性)。
• 在加權法中，每一個準則均分配有一權重，是為變數之係數，而決策者把每一個準則項目下的值轉換成數字尺度，將每一方案的每一準則之尺度乘以準則權重數即可得每一個方案的總得分，然後依此算出每一方案之總得分再予以比較，其最高得分的方案則為第一優先方案。

WPM (Weighted Product Model)

• 類似加權法選擇效用最大者，但因為以相對數值作比較，故可以抵銷不同方案的準則單位比較問題。
• 以不同的準則，兩兩相比較可行方案。

AHP Method ( Analytic Hierarchy Process Method，層級分析法)

• Satty（1980）所提之層級結構：將每一個方案下的各項準則延展分成各不同的層級。
• 將關心的問題利用層級化的方式展開，每個層級的項目各自獨立，由下而上求算各層的相對權重而加以綜合，選擇權重值最高的方案為決策的最適方案。
• 可利用一致性檢查(consistency of judgement)的方式來減少兩兩比較所給的分數發生矛盾的問題，其值必須小於0.1。

Revised AHP Method

• 原始的AHP會有排序不一致的問題，因此在相對值的計算上不使用column 的合計，改以column中的最大值。
• 計算步驟如下
  1. 根據兩兩比較偏愛量化表求出下列資料的兩兩比較矩陣(Pairwise comparison matrix)
     1. 將所有的alternative依照每一個準則兩兩比較算出個別準則的喜好程度
     2. 將準則本身照上述方式兩兩比較算出個別準則的喜好程度
  2. 對所有方案求出相對的準則優先權(relative priorities)
  3. 將上述的準則優先權作一致性檢查，其值必須小於0.1
  4. 通過一致性檢查後匯總資料為Overall priority ranking
  5. 根據Overall priority ranking的alternative乘上weight之後的和，可知最大值為最後的選擇。

ELECTRE Method (ELimination Et Choice Translating REality method)

TOPIS Method (Technique for Order Preference by similarity to IdealSolution method)

案例研究

設定各項準則權重

以下採用不同的方法評估

WSM

a1 WSM-score = 64 * 0.3 + 80 * 0.2 + 60 * 0.15 + 73 * 0.05 + 67 * 0.15 + 60 * 0.15 = 66.9
a2 WSM-score = 56 * 0.3 + 90 * 0.2 + 80 * 0.15 + 34 * 0.05 + 33 * 0.15 + 20 * 0.15 = 56.45
a3 WSM-score = 83 * 0.3 + 90 * 0.2 + 90 * 0.15 + 69 * 0.05 + 70 * 0.15 + 80 * 0.15 = 82.35

=>a3 > a1 > a2

WPM

R(a1/a2) WPM-score = ( 64/56 ) ^0.3 * ( 80/90 ) ^0.2 * (60/80) ^0.15 * (73/34) ^0.05 * (67/33) ^0.15 * (60/20) ^0.15 = 1.327 => a1 > a2
R(a1/a3) WPM-score = ( 64/83 ) ^0.3 * ( 80/90 ) ^0.2 * (60/90) ^0.15 * (73/69) ^0.05 * (67/70) ^0.15 * (60/80) ^0.15 = 0.811 => a1 < a3
R(a2/a3) WPM-score = ( 56/83 ) ^0.3 * ( 90/90 ) ^0.2 * (80/90) ^0.15 * (34/69) ^0.05 * (33/70) ^0.15 * (20/80) ^0.15 = 0.611 => a2 < a3

=>a3 > a1 > a2

Revised AHP

AHP Pairwise Comparisons

依主觀判斷，參考Pairwise comparison scale for AHP preferences Table， 給出下列Matrix

Synthesis

對所有方案求出相對的準則優先權(relative priorities)=求相關權重

Step 1 每一個 cell 除以column的最大值

Step 2 計算 row 的合計後取平均值 (a1+a2+a3) /3

Consistency of judgements

Step 1 . Σ (原始的criteria pairwise matrix * 每個criteria所求得之相關權重) / 每個criteria所求得之相關權重

Step 2 .

1. 求λmax ：求算數平均數
2. 求CI(Consistency Index)： CI = (λmax-n) / (n-1) //n為被比較的個數
3. 求 CR(Consistency Ratio) ： CR=CI/ RI //RI=Random Index, 請查下表

   • n	3	4	5	6	7	8
     RI	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41

其餘C4~C6的計算方式相同，可自行計算之

Overall priority ranking

將各項準則的 relative priorities matrix乘上準則的權重後可得出選擇方案的優先權排序表，優先權最高者為最好的選擇

網路資源

• Lecture 1.3.2 : Multi-criterion decision-making using ELECTRE
• EVAMIX
• 多屬性決策理論方法與應用研究

主 網 站：http://peterju.notlong.com (目前轉址至 http://irw.ncut.edu.tw/peterju/)

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